Combien de visiteurs pour un premier clic ?

Le modèle. Soit $n$ le nombre de visiteurs et $X$ le nombre de clics. On répète $n$ épreuves identiques et indépendantes à deux issues, de probabilité de succès $0,02$ : $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n;0,02)$.

Passer par le contraire. L'événement « au moins un clic » est le contraire de « aucun clic », et ce dernier n'a qu'un seul terme :

$$P(X=0)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)(0,02{)}^0(0,98{)}^n=(0,98{)}^n.$$

Donc $P(X\ge 1)=1-(0,98{)}^n$, et la condition s'écrit

$$1-(0,98{)}^n\ge 0,95⟺(0,98{)}^n\le 0,05.$$

Le logarithme, et le piège du signe. $\ln$ étant strictement croissante, l'inéquation équivaut à $n\ln 0,98\le \ln 0,05$. Or $\ln 0,98\approx -0,0202$ est négatif : en divisant par lui, le sens de l'inégalité s'inverse.

$$n\ge \frac{\ln 0,05}{\ln 0,98}\approx \frac{-2,9957}{-0,0202}\approx 148,28.$$

Le plus petit entier convenable est $n=149$.

Contrôle. $1-(0,98{)}^{148}\approx 0,9497<0,95$, tandis que $1-(0,98{)}^{149}\approx 0,9507>0,95$. Le seuil est bien franchi entre les deux.

Le point à retenir. Deux gestes, tous deux obligatoires. « Au moins un » se calcule par l'événement contraire, seul terme simple de la loi binomiale. Et diviser une inéquation par un logarithme négatif en renverse le sens — c'est l'erreur la plus fréquente de tout calcul de seuil.