Contrôle sur un lot de vingt pièces

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 11 — Coefficients binomiaux et lois usuelles finies · La loi binomiale en pratique

Énoncé

Une machine produit des pièces dont $2 %$ sont défectueuses, indépendamment les unes des autres. On prélève un lot de $20$ pièces et l'on note $X$ le nombre de défectueuses.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
Calculer $P (X = 0)$ , puis la probabilité que le lot contienne au moins une pièce défectueuse.
Donner $E (X)$ et $V (X)$ . Commenter.

Corrigé

1. Chaque pièce est une épreuve à deux issues (défectueuse ou non), de même probabilité $p = 0, 02$ , et les prélèvements sont indépendants. $X$ compte les succès sur $20$ répétitions : $X ↪ B (20; 0, 02)$ .

2. Aucune pièce défectueuse. $P (X = 0) = 0, 9 8^{20} \approx 0, 668$ . Au moins une : $P (X \geq 1) = 1 - 0, 668 = 0, 332$ , soit environ $33 %$ des lots.

3. $E (X) = 20 \times 0, 02 = 0, 4$ et $V (X) = 20 \times 0, 02 \times 0, 98 = 0, 392$ . On attend donc en moyenne $0, 4$ pièce défectueuse par lot, et l'on vient de voir qu'un lot sur trois environ en contient au moins une : un taux de défaut de $2 %$ , qui paraît faible pièce par pièce, produit un lot défectueux sur trois. C'est le passage de l'unité au lot qui change la lecture.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.