Deux développements courts

Le premier développement. La ligne $4$ du triangle de Pascal est $1,4,6,4,1$. Comme toutes les puissances de $1$ valent $1$ : $$(1+x{)}^4=1+4x+6x^2+4x^3+x^4.$$

Contrôle. En $x=1$ : à gauche $2^4=16$, à droite $1+4+6+4+1=16$ — c'est la somme d'une ligne du triangle, qui vaut toujours $2^n$.

Le second développement. La ligne $3$ est $1,3,3,1$, et l'on applique la formule avec le second terme égal à $-b$ : $$(a-b{)}^3=a^3+3a^2(-b)+3a(-b{)}^2+(-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3.$$ Les signes alternent, parce que les puissances impaires de $-b$ sont négatives.

Contrôle. Avec $a=2$ et $b=1$ : à gauche $(2-1{)}^3=1$, à droite $8-12+6-1=1$. Avec $a=b=1$ : à gauche $0$, à droite $1-3+3-1=0$ — c'est la somme alternée d'une ligne, qui vaut toujours $0$.