Deux lois binomiales de même espérance

Les espérances. $E(X)=20\times 0,3=6$ et $E(Y)=60\times 0,1=6$ : les deux espérances sont égales. Sur ce seul critère, les deux situations seraient interchangeables.

Les variances. $$V(X)=20\times 0,3\times 0,7=4,2,V(Y)=60\times 0,1\times 0,9=5,4.$$ Les écarts types valent $\sigma (X)\approx 2,05$ et $\sigma (Y)\approx 2,32$ : $Y$ est plus dispersée que $X$ autour de la même moyenne.

Les probabilités d'un résultat nul. $$P(X=0)=(0,7{)}^{20}\approx 0,00080,P(Y=0)=(0,9{)}^{60}\approx 0,00180.$$ L'événement « aucun succès » est plus de deux fois plus probable pour $Y$ que pour $X$.

Conclusion. Deux lois binomiales de même espérance ne décrivent pas la même situation : l'espérance dit où se situe le paquet, elle ne dit rien de son étalement ni du risque des valeurs extrêmes. Répartir le même nombre moyen de succès sur beaucoup d'épreuves peu probables ($Y$) est plus incertain que sur peu d'épreuves plus probables ($X$).

Contrôle par la formule. Pour un $np$ fixé, $V=np(1-p)$ vaut $6(1-p)$ : elle croît quand $p$ décroît. Avec $p=0,3$ on obtient $6\times 0,7=4,2$, avec $p=0,1$ on obtient $6\times 0,9=5,4$ — les deux valeurs calculées plus haut.