Deux pièces prélevées dans un lot

La situation. Toutes les paires de deux pièces ont la même probabilité d'être prélevées : on est en situation d'équiprobabilité, et la probabilité cherchée est le quotient du nombre de paires favorables par le nombre total de paires.

Le nombre total de paires. Choisir $2$ pièces parmi $8$ : $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)=\frac{8\times 7}{2}=28.$$

Les paires favorables. Aucune défectueuse signifie que les deux pièces sont prises parmi les $8-3=5$ pièces correctes : $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=\frac{5\times 4}{2}=10.$$

La probabilité. $$P=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}\approx 0,357.$$

Contrôle par un autre chemin. On peut aussi tirer les deux pièces l'une après l'autre : la première est correcte avec la probabilité $\frac{5}{8}$, puis la seconde l'est avec la probabilité $\frac{4}{7}$. Le produit vaut $\frac{5}{8}\times \frac{4}{7}=\frac{20}{56}=\frac{5}{14}$ : le même résultat.

Ce qu'il faut retenir. Les coefficients binomiaux ne servent ici qu'à compter des cas également probables ; c'est leur unique emploi hors de la loi binomiale.