Deux sommes de coefficients

Coefficients binomiaux et lois usuelles finies · La formule du binôme · niveau 2

Énoncé

Sans calculer les coefficients un à un, donner la valeur de $k = 0 \sum 10 (k 10)$ et de $k = 0 \sum 10 (- 1)^{k} (k 10)$ . Que vaut $k = 0 \sum 10 (k 10) 2^{k}$ ?

Corrigé

Première somme. La formule du binôme avec $a = b = 1$ donne $\sum_{k = 0}^{10} (k 10) = (1 + 1)^{10} = 2^{10} = 1024$ .

Deuxième somme. Avec $a = - 1$ et $b = 1$ : $\sum_{k = 0}^{10} (- 1)^{k} (k 10) = (- 1 + 1)^{10} = 0$ .

Troisième somme. Avec $a = 2$ et $b = 1$ : $\sum_{k = 0}^{10} (k 10) 2^{k} 1^{10 - k} = (2 + 1)^{10} = 3^{10} = 59049$ .

Ce qu'il faut voir. Ces trois sommes ne se calculent pas terme à terme : on reconnaît un binôme développé et on le referme. Choisir $a$ et $b$ est tout le travail.

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