Développer avec le binôme

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 11 — Coefficients binomiaux et lois usuelles finies · La formule du binôme

Énoncé

Développer $(2 x + 3)^{4}$ à l'aide de la formule du binôme de Newton, puis vérifier le résultat en $x = 1$ .

Corrigé

La ligne 4 du triangle est $1, 4, 6, 4, 1$ . Avec $a = 2 x$ et $b = 3$ :

$(2 x + 3)^{4} = (2 x)^{4} + 4 (2 x)^{3} \times 3 + 6 (2 x)^{2} \times 3^{2} + 4 (2 x) \times 3^{3} + 3^{4} .$

On calcule chaque terme : $(2 x)^{4} = 16 x^{4}$ ; $4 \times 8 x^{3} \times 3 = 96 x^{3}$ ; $6 \times 4 x^{2} \times 9 = 216 x^{2}$ ; $4 \times 2 x \times 27 = 216 x$ ; et $81$ . D'où $(2 x + 3)^{4} = 16 x^{4} + 96 x^{3} + 216 x^{2} + 216 x + 81$ .

Vérification en $x = 1$ . À gauche, $(2 + 3)^{4} = 5^{4} = 625$ ; à droite, $16 + 96 + 216 + 216 + 81 = 625$ . Cette vérification en une valeur simple coûte dix secondes et attrape la quasi-totalité des erreurs de coefficient.

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