Développer une puissance avec des signes

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 11 — Coefficients binomiaux et lois usuelles finies · Coefficients binomiaux et binôme de Newton

Énoncé

Développer $(x - 2)^{5}$ à l'aide de la formule du binôme de Newton, puis vérifier le résultat en $x = 1$ et en $x = 2$ .

Corrigé

La formule. Avec $a = x$ et $b = - 2$ : $(x - 2)^{5} = k = 0 \sum 5 (k 5) x^{k} (- 2)^{5 - k} .$ La ligne $5$ du triangle de Pascal est $1, 5, 10, 10, 5, 1$ .

Les six termes. Les puissances de $- 2$ alternent de signe : $(- 2)^{5} = - 32$ , $(- 2)^{4} = 16$ , $(- 2)^{3} = - 8$ , $(- 2)^{2} = 4$ , $(- 2)^{1} = - 2$ , $(- 2)^{0} = 1$ . D'où $(x - 2)^{5} = x^{5} - 10 x^{4} + 40 x^{3} - 80 x^{2} + 80 x - 32.$ Le détail des coefficients : $5 \times (- 2) = - 10$ ; $10 \times 4 = 40$ ; $10 \times (- 8) = - 80$ ; $5 \times 16 = 80$ ; $1 \times (- 32) = - 32$ .

Vérification en $x = 1$ . À gauche, $(1 - 2)^{5} = (- 1)^{5} = - 1$ . À droite, $1 - 10 + 40 - 80 + 80 - 32 = - 1$ . Les deux concordent.

Vérification en $x = 2$ . À gauche, $0^{5} = 0$ . À droite, $32 - 160 + 320 - 320 + 160 - 32 = 0$ . Les deux concordent encore.

Le point délicat. Les signes alternent, parce que $b = - 2$ est négatif : un développement de $(x - 2)^{5}$ dont tous les termes seraient positifs est forcément faux. Le contrôle en une valeur bien choisie — ici $x = 2$ , qui annule tout — coûte deux lignes et détecte la plupart des erreurs.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.