Douze clients démarchés

Coefficients binomiaux et lois usuelles finies · Reconnaître et utiliser les lois usuelles · niveau 2

Énoncé

Un commercial appelle $12$ clients, chacun acceptant un rendez-vous avec probabilité $0, 25$ , indépendamment des autres. Soit $X$ le nombre de rendez-vous obtenus. Donner la loi de $X$ , $E (X)$ , $V (X)$ , puis calculer $P (X = 3)$ et $P (X \geq 1)$ .

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La loi. Douze épreuves identiques et indépendantes, on compte les succès : $X ↪ B (12; 0, 25)$ , et $P (X = k) = (k 12) 0, 2 5^{k} 0, 7 5^{12 - k}$ pour $k \in [[0, 12]]$ .

Espérance et variance. $E (X) = 12 \times 0, 25 = 3$ et $V (X) = 12 \times 0, 25 \times 0, 75 = 2, 25$ , donc $σ (X) = 1, 5$ .

Trois rendez-vous. $P (X = 3) = (3 12) 0, 2 5^{3} 0, 7 5^{9} = 220 \times 0, 015625 \times 0, 0750847 \approx 0, 258$ .

Au moins un. On passe par l'événement contraire : $P (X \geq 1) = 1 - 0, 7 5^{12} \approx 1 - 0, 0317 = 0, 968$ .

Le réflexe à garder. « Au moins un » se calcule toujours par le contraire : une seule puissance au lieu de douze termes à additionner.

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