La formule de Pascal, vérifiée puis démontrée

La vérification. En simplifiant avant de multiplier :

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{4}\right)=\frac{9\times 8\times 7\times 6}{4\times 3\times 2\times 1}=126,\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\right)=\frac{8\times 7\times 6}{6}=56,\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4}\right)=\frac{8\times 7\times 6\times 5}{24}=70.$$

Et $56+70=126$ : l'égalité est vérifiée.

La démonstration. Partons du membre de droite, avec $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{j}\right)=\frac{m!}{j!(m-j)!}$ :

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k}\right)=\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}+\frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}.$$

Le dénominateur commun se lit sur l'arrivée : on veut $k!(n-k)!$.

Pour le premier terme, $k!=k\times (k-1)!$ : on multiplie haut et bas par $k$, ce qui donne $\frac{k(n-1)!}{k!(n-k)!}$.

Pour le second, $(n-k)!=(n-k)\times (n-1-k)!$ : on multiplie haut et bas par $n-k$, ce qui donne $\frac{(n-k)(n-1)!}{k!(n-k)!}$.

La somme.

$$\frac{(n-1)!(k+n-k)}{k!(n-k)!}=\frac{n\times (n-1)!}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right).$$

Le point à retenir. Dans une somme de deux quotients de factorielles, ce n'est pas le hasard qui choisit le dénominateur commun : c'est la formule d'arrivée. On la regarde d'abord, et l'on complète chaque factorielle du facteur qui lui manque.