La formule de Pascal, vérifiée puis démontrée

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 11 — Coefficients binomiaux et lois usuelles finies · Coefficients binomiaux et dénombrement

Énoncé

Vérifier par le calcul que $(4 9) = (3 8) + (4 8)$ , puis démontrer la formule de Pascal $(k n) = (k - 1 n - 1) + (k n - 1)$ pour $1 \leq k \leq n - 1$ , à partir de la définition par les factorielles.

Corrigé

La vérification. En simplifiant avant de multiplier :

$(4 9) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126, (3 8) = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 56, (4 8) = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{24} = 70.$

Et $56 + 70 = 126$ : l'égalité est vérifiée.

La démonstration. Partons du membre de droite, avec $(j m) = \frac{m !}{j ! ( m - j )!}$ :

$(k - 1 n - 1) + (k n - 1) = \frac{( n - 1 )!}{( k - 1 )! ( n - k )!} + \frac{( n - 1 )!}{k ! ( n - 1 - k )!} .$

Le dénominateur commun se lit sur l'arrivée : on veut $k! (n - k)!$ .

Pour le premier terme, $k! = k \times (k - 1)!$ : on multiplie haut et bas par $k$ , ce qui donne $\frac{k ( n - 1 )!}{k ! ( n - k )!}$ .

Pour le second, $(n - k)! = (n - k) \times (n - 1 - k)!$ : on multiplie haut et bas par $n - k$ , ce qui donne $\frac{( n - k ) ( n - 1 )!}{k ! ( n - k )!}$ .

La somme.

$\frac{( n - 1 )! ( k + n - k )}{k ! ( n - k )!} = \frac{n \times ( n - 1 )!}{k ! ( n - k )!} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} = (k n) .$

Le point à retenir. Dans une somme de deux quotients de factorielles, ce n'est pas le hasard qui choisit le dénominateur commun : c'est la formule d'arrivée. On la regarde d'abord, et l'on complète chaque factorielle du facteur qui lui manque.

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