La valeur la plus probable d'une loi binomiale

Le rapport. Pour $0\le k\le 19$,

$$\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{k+1}\right)(0,3{)}^{k+1}(0,7{)}^{19-k}}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{k}\right)(0,3{)}^k(0,7{)}^{20-k}}=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{k+1}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{k}\right)}\times \frac{0,3}{0,7}.$$

Or, par les factorielles, $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{k+1}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{k}\right)}=\frac{20!k!(20-k)!}{(k+1)!(19-k)!20!}=\frac{20-k}{k+1}$. Donc

$$\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}=\frac{20-k}{k+1}\times \frac{3}{7}.$$

Quand ce rapport dépasse-t-il $1$ ? Les deux dénominateurs étant positifs :

$$\frac{3(20-k)}{7(k+1)}\ge 1⟺60-3k\ge 7k+7⟺53\ge 10k⟺k\le 5,3.$$

Conclusion. Pour $k\le 5$ le rapport est $>1$ : les probabilités croissent de $P(X=0)$ jusqu'à $P(X=6)$. Pour $k\ge 6$ il est $<1$ : elles décroissent ensuite. La valeur la plus probable est donc $k=6$, avec $P(X=6)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{6}\right)(0,3{)}^6(0,7{)}^{14}\approx 0,1916$.

Contrôle. $P(X=5)\approx 0,1789$ et $P(X=7)\approx 0,1643$ : les deux voisines sont bien plus petites. On notera $E(X)=np=6$ : ici la valeur la plus probable coïncide avec l'espérance, mais ce n'est pas une règle générale.

Le point à retenir. Un maximum sur des entiers ne se cherche pas par une dérivée mais en comparant deux termes consécutifs. Quand ils sont positifs, on compare leur rapport : tous les facteurs communs disparaissent et il ne reste qu'une inéquation du premier degré.