La valeur la plus probable d'une loi binomiale

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 11 — Coefficients binomiaux et lois usuelles finies · La loi binomiale en pratique

Énoncé

Soit $X$ une variable aléatoire de loi binomiale de paramètres $n = 20$ et $p = 0, 3$ . Calculer le rapport $\frac{P ( X = k + 1 )}{P ( X = k )}$ pour $0 \leq k \leq 19$ , puis en déduire la valeur de $k$ la plus probable.

Corrigé

Le rapport. Pour $0 \leq k \leq 19$ ,

$\frac{P ( X = k + 1 )}{P ( X = k )} = \frac{( k + 1 20 ) ( 0 , 3 ) ^{k + 1} ( 0 , 7 ) ^{19 - k}}{( k 20 ) ( 0 , 3 ) ^{k} ( 0 , 7 ) ^{20 - k}} = \frac{( k + 1 20 )}{( k 20 )} \times \frac{0 , 3}{0 , 7} .$

Or, par les factorielles, $\frac{( k + 1 20 )}{( k 20 )} = \frac{20 ! k ! ( 20 - k )!}{( k + 1 )! ( 19 - k )! 20 !} = \frac{20 - k}{k + 1}$ . Donc

$\frac{P ( X = k + 1 )}{P ( X = k )} = \frac{20 - k}{k + 1} \times \frac{3}{7} .$

Quand ce rapport dépasse-t-il $1$ ? Les deux dénominateurs étant positifs :

$\frac{3 ( 20 - k )}{7 ( k + 1 )} \geq 1 ⟺ 60 - 3 k \geq 7 k + 7 ⟺ 53 \geq 10 k ⟺ k \leq 5, 3.$

Conclusion. Pour $k \leq 5$ le rapport est $> 1$ : les probabilités croissent de $P (X = 0)$ jusqu'à $P (X = 6)$ . Pour $k \geq 6$ il est $< 1$ : elles décroissent ensuite. La valeur la plus probable est donc $k = 6$ , avec $P (X = 6) = (6 20) (0, 3)^{6} (0, 7)^{14} \approx 0, 1916$ .

Contrôle. $P (X = 5) \approx 0, 1789$ et $P (X = 7) \approx 0, 1643$ : les deux voisines sont bien plus petites. On notera $E (X) = n p = 6$ : ici la valeur la plus probable coïncide avec l'espérance, mais ce n'est pas une règle générale.

Le point à retenir. Un maximum sur des entiers ne se cherche pas par une dérivée mais en comparant deux termes consécutifs. Quand ils sont positifs, on compare leur rapport : tous les facteurs communs disparaissent et il ne reste qu'une inéquation du premier degré.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.