Le gain d'un commercial

La loi de $X$. On répète $20$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues (« il signe » / « il ne signe pas ») de probabilité de succès $p=0,15$, et $X$ compte les succès. Les trois conditions du schéma de Bernoulli sont réunies : $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(20;0,15)$, et pour $k$ entier de $0$ à $20$,

$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{k}\right)(0,15{)}^k(0,85{)}^{20-k}.$$

Espérance et variance de $X$.

$$E(X)=np=20\times 0,15=3,V(X)=np(1-p)=20\times 0,15\times 0,85=2,55.$$

Le gain. Le gain s'écrit $G=200+50X$ : c'est une transformation affine de $X$.

Par linéarité de l'espérance,

$$E(G)=200+50E(X)=200+150=350\text{ euros}.$$

Pour la variance, une constante ajoutée ne change rien à la dispersion, et un facteur multiplicatif est élevé au carré :

$$V(G)=50^2\times V(X)=2500\times 2,55=6375,$$

d'où l'écart type $\sigma (G)=\sqrt{6375}\approx 79,84$ euros.

Lecture. Le commercial gagne $350$ euros en moyenne, mais avec un écart type de près de $80$ euros : le gain varie couramment de $270$ à $430$ euros.

Le point à retenir. Sur $aX+b$ : le $b$ déplace l'espérance et laisse la variance intacte ; le $a$ multiplie l'espérance par $a$ et la variance par $a^2$. C'est l'écart type, et non la variance, qui se lit en euros.