Le seuil de sécurité d'un stock

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 11 — Coefficients binomiaux et lois usuelles finies · La loi binomiale en pratique

Énoncé

Un site de vente sait que chacun de ses $8$ fournisseurs livre en retard avec probabilité $0, 1$ , indépendamment des autres. Soit $X$ le nombre de fournisseurs en retard un jour donné.

Donner la loi de $X$ et calculer $P (X = 0)$ , $P (X = 1)$ , $P (X = 2)$ .
En déduire $P (X \leq 2)$ , puis $P (X \geq 3)$ . Le site veut que la probabilité d'avoir $3$ retards ou plus reste sous $5 %$ : l'objectif est-il tenu ?

Corrigé

1. La loi. $X ↪ B (8; 0, 1)$ , donc $P (X = k) = (k 8) 0, 1^{k} 0, 9^{8 - k}$ :

$P (X = 0) = 0, 9^{8} \approx 0, 4305, P (X = 1) = 8 \times 0, 1 \times 0, 9^{7} \approx 0, 3826, P (X = 2) \approx 0, 1488.$

2. Cumul. Ces trois événements sont incompatibles, donc $P (X \leq 2) \approx 0, 4305 + 0, 3826 + 0, 1488 = 0, 9619$ , et par l'événement contraire $P (X \geq 3) \approx 1 - 0, 9619 = 0, 0381$ .

Conclusion. $0, 0381 < 0, 05$ : l'objectif est tenu, mais de peu. Notons que $E (X) = 0, 8$ retard par jour en moyenne : le seuil de $3$ est à près de quatre fois la moyenne, et c'est bien pour cela qu'il n'est franchi qu'un jour sur vingt-six environ.

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