Le triangle de Pascal caché dans une puissance de 11

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 11 — Coefficients binomiaux et lois usuelles finies · Coefficients binomiaux et binôme de Newton

Énoncé

En écrivant $11 = 10 + 1$ et en utilisant la formule du binôme, calculer $1 1^{5}$ sans poser de multiplication, puis expliquer le lien avec la ligne $5$ du triangle de Pascal.

Corrigé

Le développement. Avec $a = 10$ et $b = 1$ , la formule du binôme donne $1 1^{5} = (10 + 1)^{5} = k = 0 \sum 5 (k 5) 1 0^{k} 1^{5 - k} = k = 0 \sum 5 (k 5) 1 0^{k} .$ Comme $1^{5 - k} = 1$ , il ne reste que les coefficients et les puissances de $10$ .

La ligne $5$ du triangle. Elle vaut $1, 5, 10, 10, 5, 1$ . D'où $1 1^{5} = 1 \times 1 0^{5} + 5 \times 1 0^{4} + 10 \times 1 0^{3} + 10 \times 1 0^{2} + 5 \times 10 + 1.$

Le calcul, qui n'est qu'une addition. $100000 + 50000 + 10000 + 1000 + 50 + 1 = 161 051.$

Contrôle. $1 1^{2} = 121$ , $1 1^{3} = 1331$ , $1 1^{4} = 14641$ — on y lit directement les lignes $2$ , $3$ et $4$ du triangle : $121$ , $1331$ , $14641$ . Et $1 1^{5} = 11 \times 14641 = 161051$ : le résultat est confirmé.

Le point délicat. À la ligne $5$ , les coefficients $10$ ne tiennent plus sur un chiffre : on ne peut donc plus lire la ligne dans l'écriture décimale de $1 1^{5}$ , il y a des retenues. La formule du binôme, elle, reste exacte — c'est la lecture « chiffre par chiffre » qui cesse d'être valable, pas le calcul.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.