Lire un coefficient dans un développement

La formule. $(1+x{)}^6=\sum _{k=0}^6(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{k})x^k$, puisque toutes les puissances de $1$ valent $1$. Le coefficient de $x^k$ est donc simplement $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{k}\right)$.

Le coefficient de $x^2$. $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=\frac{6\times 5}{2}=15.$$

Le coefficient de $x^5$. On utilise la symétrie pour n'avoir qu'un facteur à écrire : $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{5}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{1}\right)=6.$$

Contrôle sur la ligne $6$ du triangle. Elle vaut $1,6,15,20,15,6,1$. Le troisième nombre — celui d'indice $k=2$, puisqu'on commence à $k=0$ — vaut bien $15$, et l'avant-dernier vaut bien $6$.

Le point délicat. L'indice $k$ commence à $0$ : le coefficient de $x^2$ est le troisième nombre de la ligne, pas le deuxième. Compter les nombres au lieu de lire l'indice est l'erreur la plus courante, et elle décale tout d'un cran.