Quatre lancers d'une pièce équilibrée

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 11 — Coefficients binomiaux et lois usuelles finies · Les lois usuelles sur des cas simples

Énoncé

On lance $4$ fois une pièce équilibrée et l'on note $X$ le nombre de « pile » obtenus. Donner la loi de $X$ sous forme de tableau, vérifier que les probabilités somment à $1$ , puis calculer $E (X)$ et $V (X)$ .

Corrigé

La loi. On répète $4$ fois la même épreuve, indépendamment, avec la même probabilité de succès $p = 0, 5$ , et $X$ compte les succès : $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p = 0, 5$ . Pour $k$ de $0$ à $4$ : $P (X = k) = (k 4) (0, 5)^{k} (0, 5)^{4 - k} = \frac{1}{16} (k 4),$ puisque les deux puissances se recombinent en $(0, 5)^{4} = \frac{1}{16}$ .

Le tableau de la loi. La ligne $4$ du triangle de Pascal est $1, 4, 6, 4, 1$ :

$k$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P (X = k)$	$\frac{1}{16}$	$\frac{4}{16}$	$\frac{6}{16}$	$\frac{4}{16}$	$\frac{1}{16}$

Somme des probabilités. $\frac{1 + 4 + 6 + 4 + 1}{16} = \frac{16}{16} = 1$ : la somme d'une ligne du triangle vaut $2^{4} = 16$ , et c'est exactement ce qui fait de cette liste une loi de probabilité.

Espérance et variance. $E (X) = n p = 4 \times 0, 5 = 2$ et $V (X) = n p (1 - p) = 4 \times 0, 5 \times 0, 5 = 1$ , donc $σ (X) = 1$ .

Contrôle de l'espérance par la définition. $E (X) = \frac{0 \times 1 + 1 \times 4 + 2 \times 6 + 3 \times 4 + 4 \times 1}{16} = \frac{32}{16} = 2$ : la formule est confirmée.

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