Quatre lancers d'une pièce équilibrée

La loi. On répète $4$ fois la même épreuve, indépendamment, avec la même probabilité de succès $p=0,5$, et $X$ compte les succès : $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=4$ et $p=0,5$. Pour $k$ de $0$ à $4$ : $$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{k}\right)(0,5{)}^k(0,5{)}^{4-k}=\frac{1}{16}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{k}\right),$$ puisque les deux puissances se recombinent en $(0,5{)}^4=\frac{1}{16}$.

Le tableau de la loi. La ligne $4$ du triangle de Pascal est $1,4,6,4,1$ :

$k$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X=k)$	$\frac{1}{16}$	$\frac{4}{16}$	$\frac{6}{16}$	$\frac{4}{16}$	$\frac{1}{16}$

Somme des probabilités. $\frac{1+4+6+4+1}{16}=\frac{16}{16}=1$ : la somme d'une ligne du triangle vaut $2^4=16$, et c'est exactement ce qui fait de cette liste une loi de probabilité.

Espérance et variance. $E(X)=np=4\times 0,5=2$ et $V(X)=np(1-p)=4\times 0,5\times 0,5=1$, donc $\sigma (X)=1$.

Contrôle de l'espérance par la définition. $E(X)=\frac{0\times 1+1\times 4+2\times 6+3\times 4+4\times 1}{16}=\frac{32}{16}=2$ : la formule est confirmée.