Reconnaître la loi

Reconnaître la loi

Coefficients binomiaux et lois usuelles finies · Reconnaître et utiliser les lois usuelles · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Dans chaque situation, dire quelle loi suit la variable $X$ , en précisant ses paramètres, ou expliquer pourquoi aucune loi usuelle ne convient.

On lance $20$ fois une pièce équilibrée ; $X$ est le nombre de « pile ».
Une urne contient $5$ jetons numérotés de $1$ à $5$ ; $X$ est le numéro du jeton tiré.
Dans un lot de $10$ pièces dont $3$ défectueuses, on en prélève $4$ sans remise ; $X$ est le nombre de défectueuses prélevées.
Un vendeur reçoit exactement $7$ commandes par jour ; $X$ est le nombre de commandes du jour.

Corrigé

1. Binomiale $B (20; 0, 5)$ . Vingt épreuves identiques, indépendantes, deux issues, et l'on compte les succès : les trois conditions sont réunies. $E (X) = 10$ , $V (X) = 5$ .

2. Uniforme $U ([[1, 5]])$ . Cinq valeurs également probables. $E (X) = 3$ , $V (X) = \frac{24}{12} = 2$ .

3. Aucune des lois du cours. Le tirage est sans remise : après avoir sorti une pièce défectueuse, la proportion de défectueuses dans ce qui reste a changé. Les épreuves ne sont ni identiques ni indépendantes, donc $X$ n'est pas binomiale ; sa loi se calcule directement, à la main.

4. Loi certaine de valeur $7$ . $P (X = 7) = 1$ , $E (X) = 7$ , $V (X) = 0$ . Le point 3 est le piège classique : avant d'écrire « binomiale », on vérifie toujours identiques ? indépendantes ? compte-t-on des succès ?

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