Retrouver le paramètre d'une loi uniforme

La loi. Tous les numéros ont la même probabilité d'être tirés : $X$ suit la loi uniforme sur $[[1,n]]$, avec $P(X=k)=\frac{1}{n}$ pour tout $k$ de $1$ à $n$.

Le paramètre $n$. L'espérance d'une loi uniforme vaut $E(X)=\frac{n+1}{2}$. L'égalité $\frac{n+1}{2}=8$ donne $n+1=16$, donc $$n=15.$$

La variance. $V(X)=\frac{n^2-1}{12}=\frac{225-1}{12}=\frac{224}{12}=\frac{56}{3}\approx 18,67$.

L'écart type. $\sigma (X)=\sqrt{V(X)}\approx \sqrt{18,67}\approx 4,32$.

La probabilité demandée. L'événement $(X>12)$ est réalisé par les numéros $13$, $14$ et $15$, soit trois valeurs, chacune de probabilité $\frac{1}{15}$ : $$P(X>12)=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}=0,2.$$

Contrôle. L'espérance $8$ est bien le milieu de $[[1,15]]$, ce qui est cohérent avec la symétrie de la loi uniforme. Et $P(X>12)=0,2$ correspond à un cinquième des numéros : $3$ sur $15$.

Le point délicat. $E(X)=8$ est une valeur possible ici, mais ce n'est nullement obligatoire : pour $n=6$, l'espérance vaut $3,5$, qui n'est le numéro d'aucun bon. Une moyenne n'a pas à faire partie des valeurs prises.