Retrouver n à partir d'un coefficient

Écrire le coefficient avec la définition. Pour $n\ge 2$ : $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)=\frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{n(n-1)(n-2)!}{2(n-2)!}=\frac{n(n-1)}{2}.$$ Le facteur $(n-2)!$ se simplifie : c'est le réflexe à avoir avant tout calcul numérique.

L'équation. $\frac{n(n-1)}{2}=45$ équivaut à $n(n-1)=90$, soit $$n^2-n-90=0.$$

Résolution. Le discriminant vaut $1+360=361=19^2$, et les racines sont $$n=\frac{1-19}{2}=-9\text{et}n=\frac{1+19}{2}=10.$$

Le choix. Un coefficient binomial n'est défini que pour des entiers $0\le k\le n$ : la racine $-9$ est à écarter, et il reste $n=10$.

Contrôle. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)=\frac{10\times 9}{2}=45$.

Une lecture sur le triangle de Pascal. Le nombre $45$ est bien le troisième de la ligne $10$, qui commence par $1$, $10$, $45$, $120$… On peut aussi remarquer que $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)$ croît strictement avec $n$ : la solution est donc nécessairement unique, ce que le calcul confirme.