Simplifier avant de multiplier

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 11 — Coefficients binomiaux et lois usuelles finies · Factorielles, coefficients et binôme

Énoncé

Calculer $4!$ , $6!$ , puis $\frac{6 !}{4 !}$ et $\frac{10 !}{8 ! 2 !}$ , en simplifiant avant tout produit.

Corrigé

Les deux factorielles. $4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$ et $6! = 24 \times 5 \times 6 = 720$ .

Le premier quotient. On n'écrit pas $720/24$ : on simplifie l'écriture d'abord. $\frac{6 !}{4 !} = \frac{6 \times 5 \times 4 !}{4 !} = 6 \times 5 = 30.$

Le second quotient. De même, $10! = 10 \times 9 \times 8!$ : $\frac{10 !}{8 ! 2 !} = \frac{10 \times 9 \times 8 !}{8 ! \times 2} = \frac{10 \times 9}{2} = 45.$

Contrôle. $720 \div 24 = 30$ : le premier résultat est confirmé. Et le second n'est autre que $(2 10) = 45$ , troisième nombre de la ligne $10$ du triangle de Pascal.

Ce qu'il faut retenir. La factorielle croît de façon foudroyante : $10! = 3628800$ . Écrire les deux factorielles en entier avant de diviser serait long, risqué, et parfois hors de portée d'une calculatrice — alors que la simplification laisse ici deux facteurs.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.