Trois clients, trois probabilités différentes

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 11 — Coefficients binomiaux et lois usuelles finies · Quand la loi binomiale ne s'applique pas

Énoncé

Un commercial démarche trois clients, qui signent respectivement avec les probabilités $0, 2$ , $0, 5$ et $0, 6$ , indépendamment les uns des autres. Soit $X$ le nombre de contrats signés. Expliquer pourquoi $X$ ne suit pas une loi binomiale, donner sa loi, puis son espérance.

Corrigé

Pourquoi ce n'est pas une loi binomiale. Les trois épreuves sont bien indépendantes, mais elles ne sont pas identiques : la probabilité de succès change d'un client à l'autre. Or la loi binomiale suppose un même $p$ à chaque épreuve. Une des trois conditions manque, la formule ne s'applique pas.

Aucun contrat. Les trois échecs sont indépendants, donc leurs probabilités se multiplient : $P (X = 0) = 0, 8 \times 0, 5 \times 0, 4 = 0, 16$ .

Trois contrats. $P (X = 3) = 0, 2 \times 0, 5 \times 0, 6 = 0, 06$ .

Un seul contrat. Trois cas, selon le client qui signe : $0, 2 \times 0, 5 \times 0, 4 + 0, 8 \times 0, 5 \times 0, 4 + 0, 8 \times 0, 5 \times 0, 6 = 0, 04 + 0, 16 + 0, 24 = 0, 44.$

Deux contrats. Trois cas également, selon le client qui refuse : $0, 2 \times 0, 5 \times 0, 4 + 0, 2 \times 0, 5 \times 0, 6 + 0, 8 \times 0, 5 \times 0, 6 = 0, 04 + 0, 06 + 0, 24 = 0, 34.$

Contrôle. $0, 16 + 0, 44 + 0, 34 + 0, 06 = 1$ .

L'espérance. $E (X) = 0 \times 0, 16 + 1 \times 0, 44 + 2 \times 0, 34 + 3 \times 0, 06 = 1, 3$ , ce qui est exactement $0, 2 + 0, 5 + 0, 6$ : l'espérance d'une somme reste la somme des espérances, même quand les épreuves diffèrent. C'est la loi complète, elle, qu'il a fallu calculer à la main.

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