Un client qui répond, ou non

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 11 — Coefficients binomiaux et lois usuelles finies · Les lois usuelles sur des cas simples

Énoncé

Un client répond à une enquête avec la probabilité $0, 6$ . On pose $X = 1$ s'il répond et $X = 0$ sinon. Donner la loi de $X$ , son espérance, sa variance et son écart type.

Corrigé

La loi. L'épreuve n'a que deux issues, et $X$ vaut $1$ en cas de succès : $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p = 0, 6$ , c'est-à-dire $X (Ω) = {0; 1}, P (X = 1) = 0, 6, P (X = 0) = 1 - 0, 6 = 0, 4.$

L'espérance. $E (X) = 0 \times 0, 4 + 1 \times 0, 6 = 0, 6$ , soit $E (X) = p$ . Elle se lit ainsi : sur un grand nombre de clients sollicités, on attend environ $6$ réponses pour $10$ sollicitations.

La variance. $X$ ne prenant que les valeurs $0$ et $1$ , on a $X^{2} = X$ , donc $E (X^{2}) = 0, 6$ et $V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 0, 6 - 0, 36 = 0, 24,$ ce qui est bien $p (1 - p) = 0, 6 \times 0, 4$ .

L'écart type. $σ (X) = 0, 24 \approx 0, 49$ .

Une remarque. Si la probabilité de réponse était $0, 4$ au lieu de $0, 6$ , la variance serait identique — $0, 4 \times 0, 6 = 0, 24$ — alors que l'espérance changerait. Échanger le succès et l'échec ne modifie pas la dispersion.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.