Un numéro tiré entre 1 et 10

Coefficients binomiaux et lois usuelles finies · Les lois usuelles sur des cas simples · niveau 1 (application)

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On tire au sort un jeton parmi dix, numérotés de $1$ à $10$ . Soit $X$ le numéro obtenu. Donner la loi de $X$ , son espérance, sa variance, puis $P (X \geq 8)$ .

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La loi. Les dix jetons ont la même probabilité d'être tirés : $X$ suit la loi uniforme sur $[[1, 10]]$ , avec $X (Ω) = {1, 2, \dots, 10}, P (X = k) = \frac{1}{10} pour chaque k .$

L'espérance. $E (X) = \frac{n + 1}{2} = \frac{11}{2} = 5, 5$ .

La variance. $V (X) = \frac{n ^{2} - 1}{12} = \frac{100 - 1}{12} = \frac{99}{12} = 8, 25$ , et l'écart type vaut $σ (X) = 8, 25 \approx 2, 87$ .

La probabilité demandée. L'événement $(X \geq 8)$ regroupe les numéros $8$ , $9$ et $10$ , soit trois valeurs de probabilité $\frac{1}{10}$ chacune : $P (X \geq 8) = \frac{3}{10} = 0, 3.$

Contrôle de l'espérance par la définition. $E (X) = \frac{1}{10} (1 + 2 + \dots + 10) = \frac{55}{10} = 5, 5$ : la formule et le calcul direct concordent.

Le point délicat. L'espérance $5, 5$ n'est le numéro d'aucun jeton. Une espérance est une moyenne : elle n'a aucune raison d'être l'une des valeurs possibles, et il ne faut pas l'arrondir pour « la rendre possible ».

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