Un seul coefficient, sans tout développer

La formule, écrite avec le bon terme général. Avec $a=3x$ et $b=-2$ : $$(3x-2{)}^7=\sum _{k=0}^7(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{k})(3x{)}^k(-2{)}^{7-k}.$$ Le terme général vaut $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{k}\right)3^k(-2{)}^{7-k}{x}^k$ : la puissance de $x$ est exactement $k$.

Le terme cherché. Le monôme en $x^4$ correspond donc au seul indice $k=4$, et son coefficient est $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{4}\right)3^4(-2{)}^3.$$

Les trois facteurs. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{4}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=35$ — on est passé par la symétrie pour n'avoir que trois facteurs à écrire. Ensuite $3^4=81$, et $(-2{)}^3=-8$.

Le résultat. $$35\times 81\times (-8)=2835\times (-8)=-22680.$$ Le coefficient de $x^4$ vaut $-22680$.

Contrôle du signe. L'exposant de $-2$ est $7-4=3$, impair : le coefficient doit être négatif, et il l'est. Plus généralement, dans ce développement les coefficients de $x^7,x^6,x^5,x^4$ ont pour signes $+,-,+,-$.

Ce qu'il faut retenir. On ne développe pas huit termes pour en lire un seul : on identifie l'indice $k$ à partir de la puissance de $x$, puis on calcule les trois facteurs séparément.