Un tirage au sort dans un fichier clients

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 11 — Coefficients binomiaux et lois usuelles finies · Reconnaître et utiliser les lois usuelles

Énoncé

Une entreprise tire au sort un client parmi les $50$ de son fichier, numérotés de $1$ à $50$ . Soit $X$ le numéro tiré. Donner la loi de $X$ , son espérance et sa variance. Calculer $P (X \leq 10)$ .

Corrigé

La loi. Tous les numéros sont également probables, donc $X ↪ U ([[1, 50]])$ et $P (X = k) = \frac{1}{50}$ pour tout $k$ entre $1$ et $50$ .

Espérance et variance. $E (X) = \frac{50 + 1}{2} = 25, 5$ et $V (X) = \frac{5 0 ^{2} - 1}{12} = \frac{2499}{12} = 208, 25$ , d'où un écart type $208, 25 \approx 14, 43$ .

La probabilité demandée. L'événement $(X \leq 10)$ réunit $10$ valeurs équiprobables : $P (X \leq 10) = \frac{10}{50} = 0, 2$ .

Remarque. L'espérance $25, 5$ n'est pas un numéro de client, et cela ne gêne en rien : une espérance est une moyenne, pas une prévision.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.