Un tirage sans remise

Pourquoi la loi n'est pas binomiale. La loi binomiale exige des épreuves identiques et indépendantes. Ici, le premier tirage modifie la composition de l'urne : si le premier dossier est incomplet, il en reste $2$ sur $9$, sinon $3$ sur $9$. La probabilité de succès change d'un tirage à l'autre.

La loi de $X$, calculée par un arbre. $$P(X=0)=\frac{7}{10}\times \frac{6}{9}=\frac{42}{90}=\frac{7}{15}\approx 0,4667,$$ $$P(X=2)=\frac{3}{10}\times \frac{2}{9}=\frac{6}{90}=\frac{1}{15}\approx 0,0667.$$ Pour $X=1$, deux chemins conviennent — incomplet puis complet, ou l'inverse : $$P(X=1)=\frac{3}{10}\times \frac{7}{9}+\frac{7}{10}\times \frac{3}{9}=\frac{21}{90}+\frac{21}{90}=\frac{42}{90}=\frac{7}{15}.$$

Comparaison avec $\mathcal{B}(2;0,3)$. Elle donnerait $0,49$, $0,42$ et $0,09$ : trois valeurs différentes.

L'espérance, elle, coïncide. $E(X)=0\times \frac{7}{15}+1\times \frac{7}{15}+2\times \frac{1}{15}=\frac{9}{15}=0,6$, exactement $2\times 0,3$. Le nombre moyen de dossiers incomplets ne dépend pas de la remise ; c'est la répartition autour de cette moyenne qui change, le tirage sans remise étant moins dispersé.

Ce qu'il faut retenir. Un même énoncé, avec ou sans remise, donne deux lois différentes. Le mot « sans remise » doit déclencher un arbre, jamais la formule binomiale.