Une commande livrée en huit colis

La loi. Les $8$ colis subissent la même épreuve, avec la même probabilité d'être abîmé $p=0,05$, indépendamment les uns des autres, et $X$ compte les colis abîmés : $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=8$ et $p=0,05$.

Aucun colis abîmé. $$P(X=0)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{0}\right)(0,05{)}^0(0,95{)}^8=(0,95{)}^8\approx 0,6634.$$

Exactement un colis abîmé. $$P(X=1)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{1}\right)(0,05{)}^1(0,95{)}^7=8\times 0,05\times 0,69834\approx 0,2793.$$

Au moins deux colis abîmés. L'événement contraire de $(X\ge 2)$ est $(X=0)\cup (X=1)$, réunion de deux événements incompatibles : $$P(X\ge 2)=1-(P(X=0)+P(X=1))\approx 1-(0,6634+0,2793)=0,0573.$$

Lecture. Deux commandes sur trois arrivent intactes, et une sur dix-sept environ compte au moins deux colis abîmés. L'espérance vaut $E(X)=8\times 0,05=0,4$ colis par commande.

Le point délicat. « Au moins deux » a pour contraire « zéro ou un », et non « un ». Se tromper de contraire est l'erreur la plus fréquente sur ce type de question ; on l'évite en écrivant l'ensemble des valeurs exclues avant de soustraire.