Une variable qui ne varie pas

La loi. Quel que soit le mois tiré, le salaire vaut $2100$ euros : $X$ ne prend qu'une seule valeur, avec la probabilité $1$. C'est la loi certaine de valeur $c=2100$ : $$X(\Omega )=\{2100\},P(X=2100)=1.$$

L'espérance. $E(X)=2100\times P(X=2100)=2100\times 1=2100$ euros. La moyenne d'une grandeur constante est cette constante.

La variance. $E(X^2)=2100^2\times 1=2100^2$, donc, par la formule de Kœnig-Huygens, $$V(X)=E(X^2)-(E(X){)}^2=2100^2-2100^2=0.$$

Interprétation. La variance mesure la dispersion autour de la moyenne : elle est nulle exactement lorsqu'il n'y a rien à disperser. Ici, tous les mois donnent la même valeur, donc aucun écart à la moyenne, donc une variance nulle. L'écart type $\sigma (X)=\sqrt{0}=0$ dit la même chose.

La réciproque, utile en exercice. Rencontrer $V(X)=0$ au terme d'un calcul n'est pas un résultat sans intérêt : cela démontre que la variable est constante. C'est souvent ainsi qu'on établit qu'une grandeur ne dépend pas du hasard.