Une variable qui ne varie pas

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 11 — Coefficients binomiaux et lois usuelles finies · Les lois usuelles sur des cas simples

Énoncé

Un salarié perçoit chaque mois un salaire fixe de $2100$ euros. On note $X$ le salaire d'un mois tiré au hasard dans l'année. Donner la loi de $X$ , son espérance et sa variance, et interpréter la valeur obtenue pour la variance.

Corrigé

La loi. Quel que soit le mois tiré, le salaire vaut $2100$ euros : $X$ ne prend qu'une seule valeur, avec la probabilité $1$ . C'est la loi certaine de valeur $c = 2100$ : $X (Ω) = {2100}, P (X = 2100) = 1.$

L'espérance. $E (X) = 2100 \times P (X = 2100) = 2100 \times 1 = 2100$ euros. La moyenne d'une grandeur constante est cette constante.

La variance. $E (X^{2}) = 210 0^{2} \times 1 = 210 0^{2}$ , donc, par la formule de Kœnig-Huygens, $V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 210 0^{2} - 210 0^{2} = 0.$

Interprétation. La variance mesure la dispersion autour de la moyenne : elle est nulle exactement lorsqu'il n'y a rien à disperser. Ici, tous les mois donnent la même valeur, donc aucun écart à la moyenne, donc une variance nulle. L'écart type $σ (X) = 0 = 0$ dit la même chose.

La réciproque, utile en exercice. Rencontrer $V (X) = 0$ au terme d'un calcul n'est pas un résultat sans intérêt : cela démontre que la variable est constante. C'est souvent ainsi qu'on établit qu'une grandeur ne dépend pas du hasard.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.