Une variance qui ne désigne pas un seul paramètre

L'équation. Pour une loi de Bernoulli, $V(X)=p(1-p)$. L'égalité $p(1-p)=0,21$ s'écrit $$p-p^2=0,21,\text{soit}{p}^2-p+0,21=0.$$

Résolution. Le discriminant vaut $\Delta =1-4\times 0,21=0,16$, donc $\sqrt{\Delta }=0,4$ et $$p=\frac{1-0,4}{2}=0,3\text{ou}p=\frac{1+0,4}{2}=0,7.$$ Les deux valeurs appartiennent à $[0,1]$ : les deux conviennent.

Les espérances. $E(X)=p$, donc l'espérance vaut $0,3$ dans le premier cas et $0,7$ dans le second. La variance ne suffit donc pas à identifier la loi : deux lois de Bernoulli différentes ont ici exactement la même dispersion.

Pourquoi cette symétrie. $p(1-p)$ est inchangé quand on remplace $p$ par $1-p$ : échanger le succès et l'échec ne modifie pas la dispersion, alors que cela modifie la moyenne.

La variance maximale. La fonction $p\mapsto p(1-p)$ est un trinôme de coefficient dominant négatif, dont les racines sont $0$ et $1$ : son maximum est atteint au milieu, en $p=0,5$, et vaut $$0,5\times 0,5=0,25.$$ C'est en $p=0,5$ que le résultat d'une épreuve est le plus imprévisible ; aux extrémités, $p=0$ ou $p=1$, la variance est nulle et la variable est certaine.

Contrôle. $0,3\times 0,7=0,21$ et $0,7\times 0,3=0,21$.