Combien de rectangles pour deux décimales ?

La fonction est monotone. $f(x)={\mathrm{e}}^{-x}$ a pour dérivée $-{\mathrm{e}}^{-x}<0$ : elle est strictement décroissante sur $[0,1]$. L'intégrale est donc comprise entre les deux sommes, et leur écart majore l'erreur commise par l'une comme par l'autre.

L'écart.

$$h(f(0)-f(1))=\frac{1}{n}(1-{\mathrm{e}}^{-1})\approx \frac{0,632121}{n}.$$

Le nombre de morceaux. On veut $\frac{0,632121}{n}\le 10^{-2}$, c'est-à-dire

$$n\ge \frac{0,632121}{0,01}=63,21.$$

Le plus petit entier convenable est $n=64$.

Contrôle. Avec $n=64$ l'écart vaut $0,00988\le 0,01$ ; avec $n=63$ il vaut $0,01003>0,01$. Le seuil se joue bien entre les deux.

La valeur exacte. Une primitive de ${\mathrm{e}}^{-x}$ est $-{\mathrm{e}}^{-x}$, donc

$${\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=[-{\mathrm{e}}^{-x}{]}_0^1=-{\mathrm{e}}^{-1}+1=1-{\mathrm{e}}^{-1}\approx 0,632121.$$

Curiosité instructive : l'écart des deux sommes vaut exactement l'intégrale divisée par $n$. Il fallait donc $64$ rectangles pour obtenir deux décimales d'un nombre que le calcul exact donne en deux lignes.

Le point à retenir. La méthode des rectangles ne vaut que si l'on sait borner son erreur. Sur une fonction monotone cette borne est explicite, elle donne le nombre de morceaux à l'avance — avant tout calcul, et sans jamais connaître la valeur cherchée.