Contrôler une primitive plutôt que la chercher

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 12 — Intégration sur un segment · Primitives et intégrales élémentaires

Énoncé

On propose $F (x) = (x - 1) e^{x}$ comme primitive de $f (x) = x e^{x}$ sur $R$ . Vérifier cette affirmation, puis calculer $\int_{0}^{1} x e^{x} d x$ .

Corrigé

La vérification. $F$ est un produit ; on dérive avec $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , où $u (x) = x - 1$ et $v (x) = e^{x}$ : $F^{'} (x) = 1 \times e^{x} + (x - 1) e^{x} = e^{x} (1 + x - 1) = x e^{x} = f (x) .$ L'affirmation est donc exacte : $F$ est bien une primitive de $f$ sur $R$ .

Pourquoi cela suffit. On n'a pas eu à chercher la primitive — ce qui demanderait une technique hors programme — mais seulement à vérifier celle qu'on nous donnait. C'est une situation fréquente : l'énoncé fournit $F$ , et le travail consiste à dériver.

L'intégrale. $\int_{0}^{1} x e^{x} d x = [(x - 1) e^{x}]_{0}^{1} = (1 - 1) e^{1} - (0 - 1) e^{0} = 0 - (- 1) = 1.$

Contrôle de plausibilité. Sur $[0; 1]$ , la fonction $x e^{x}$ est croissante, de $0$ à $e \approx 2, 718$ . L'aire sous la courbe est donc comprise entre $0$ et $2, 718$ , et la valeur $1$ y est confortablement.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.