Contrôler une primitive plutôt que la chercher

La vérification. $F$ est un produit ; on dérive avec $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, où $u(x)=x-1$ et $v(x)={\mathrm{e}}^x$ : $$F^{\prime }(x)=1\times {\mathrm{e}}^x+(x-1){\mathrm{e}}^x={\mathrm{e}}^x(1+x-1)=x{\mathrm{e}}^x=f(x).$$ L'affirmation est donc exacte : $F$ est bien une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Pourquoi cela suffit. On n'a pas eu à chercher la primitive — ce qui demanderait une technique hors programme — mais seulement à vérifier celle qu'on nous donnait. C'est une situation fréquente : l'énoncé fournit $F$, et le travail consiste à dériver.

L'intégrale. $${\int }_0^{1}x{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x=[(x-1){\mathrm{e}}^x{]}_0^1=(1-1){\mathrm{e}}^1-(0-1){\mathrm{e}}^0=0-(-1)=1.$$

Contrôle de plausibilité. Sur $[0;1]$, la fonction $x{\mathrm{e}}^x$ est croissante, de $0$ à $\mathrm{e}\approx 2,718$. L'aire sous la courbe est donc comprise entre $0$ et $2,718$, et la valeur $1$ y est confortablement.