D'un rythme de ventes au total vendu

Ce que représente l'intégrale. $v(t)$ est un rythme : des milliers d'unités par mois. Le total vendu entre $0$ et $12$ mois est l'accumulation de ce rythme, c'est-à-dire $$N={\int }_0^{12}v(t)\mathrm{d}t.$$

Une primitive. Une primitive de ${\mathrm{e}}^{at}$ est $\frac{1}{a}{\mathrm{e}}^{at}$ ; avec $a=0,05$ : $$V(t)=\frac{30}{0,05}{\mathrm{e}}^{0,05t}=600{\mathrm{e}}^{0,05t}.$$ Contrôle : $V^{\prime }(t)=600\times 0,05{\mathrm{e}}^{0,05t}=30{\mathrm{e}}^{0,05t}=v(t)$.

Le total. $$N=V(12)-V(0)=600{\mathrm{e}}^{0,6}-600=600\left({\mathrm{e}}^{0,6}-1\right).$$ Comme ${\mathrm{e}}^{0,6}\approx 1,82212$, on obtient $N\approx 600\times 0,82212\approx 493,3$ milliers d'unités, soit environ $493300$ unités sur l'année.

Le rythme moyen. C'est la valeur moyenne de $v$ : $$m=\frac{N}{12}\approx \frac{493,3}{12}\approx 41,1$$ milliers d'unités par mois.

Contrôle de plausibilité. $v$ est croissante, avec $v(0)=30$ et $v(12)=30{\mathrm{e}}^{0,6}\approx 54,7$. La moyenne $41,1$ est bien comprise entre ces deux valeurs, et légèrement inférieure à leur demi-somme $42,3$ — ce qui est cohérent, la croissance étant plus lente au début.