Découper une intégrale

La relation de Chasles. Pour trois points $a$, $b$, $c$ d'un intervalle : ${\int }_a^{c}f={\int }_a^{b}f+{\int }_b^{c}f$. Avec $a=0$, $b=3$, $c=10$ : $${\int }_0^{10}f={\int }_0^{3}f+{\int }_3^{10}f=8+(-2)=6.$$

L'inversion des bornes. Échanger les bornes change le signe : $${\int }_{10}^{3}f=-{\int }_3^{10}f=-(-2)=2.$$

La linéarité. Un facteur constant sort de l'intégrale : $${\int }_0^{3}4f=4{\int }_0^{3}f=4\times 8=32.$$

Une lecture des signes. ${\int }_3^{10}f=-2$ est négatif : la fonction $f$ prend donc des valeurs négatives sur une partie de $[3;10]$, et elles l'emportent sur les valeurs positives. On ne peut pas en dire davantage — en particulier, $f$ n'est pas nécessairement négative partout sur ce segment.

Ce qu'il faut retenir. Aucune de ces trois réponses n'a demandé de connaître $f$. Chasles, l'inversion des bornes et la linéarité se déduisent toutes de l'écriture $F(b)-F(a)$, et s'appliquent à n'importe quelle fonction continue.