Des rectangles sur une fonction croissante

Le découpage. $h=\frac{1}{4}=0,25$, et les points de découpe sont $0$ ; $0,25$ ; $0,5$ ; $0,75$ ; $1$, où ${\mathrm{e}}^x$ vaut $1$ ; $1,2840$ ; $1,6487$ ; $2,1170$ ; $2,7183$.

Les deux sommes. $$S_g=0,25(1+1,2840+1,6487+2,1170)\approx 1,5124,$$ $$S_d=0,25(1,2840+1,6487+2,1170+2,7183)\approx 1,9420.$$

Qui minore ? La fonction ${\mathrm{e}}^x$ est croissante : sur chaque morceau, la valeur au bord gauche est la plus petite. Les rectangles de gauche sont donc tous sous la courbe, et ceux de droite au-dessus : $$S_g\le {\int }_0^1{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x\le S_d.$$ C'est l'inverse de ce qui se produit pour une fonction décroissante — le sens de l'encadrement se lit sur les variations, jamais par habitude.

La valeur exacte. ${\int }_0^1{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x=[{\mathrm{e}}^x{]}_0^1=\mathrm{e}-1\approx 1,7183$, et l'on a bien $1,5124\le 1,7183\le 1,9420$.

L'écart. $S_d-S_g\approx 1,9420-1,5124=0,4296$. La formule annonce $h(f(1)-f(0))=0,25\times (2,7183-1)=0,4296$ : les deux concordent. En effet, les deux sommes ont tous leurs termes communs sauf le premier de $S_g$ et le dernier de $S_d$.

Conséquence pratique. Pour garantir une précision de $10^{-2}$, il faut $h(\mathrm{e}-1)\le 10^{-2}$, soit $h\le 0,00582$, donc $n\ge 172$ rectangles.