Deux intégrales connues, plusieurs à en déduire

La première, par linéarité. L'intégrale d'une combinaison linéaire est la combinaison linéaire des intégrales : $${\int }_0^1(2f-3g)=2{\int }_0^{1}f-3{\int }_0^{1}g=2\times 3-3\times (-2)=6+6=12.$$ Attention au double changement de signe : $-3\times (-2)$ ajoute $6$.

La deuxième, par inversion des bornes. Échanger les bornes change le signe, puisque $F(a)-F(b)=-(F(b)-F(a))$ : $${\int }_1^{0}f=-{\int }_0^{1}f=-3.$$

La troisième. On sépare la somme, puis on intègre la constante : $${\int }_0^1(f(t)+5)\mathrm{d}t={\int }_0^{1}f+{\int }_0^{1}5\mathrm{d}t=3+[5t{]}_0^1=3+5=8.$$ Une constante n'a pas une intégrale nulle : celle de $5$ sur un intervalle de longueur $1$ vaut $5$.

La quatrième. Les deux bornes sont égales, donc $${\int }_0^{0}g=G(0)-G(0)=0,$$ et ce quelle que soit la fonction $g$. Un intervalle réduit à un point n'a pas d'aire.

Ce qu'il faut retenir. Ces quatre calculs n'ont demandé ni primitive ni expression de $f$ et $g$ : les propriétés de l'intégrale suffisent. Elles se lisent toutes sur la définition $F(b)-F(a)$.