Deux primitives qui n'en font qu'une

Les deux dérivées. Pour $x>0$, $3x>0$ et $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$ donne $$F^{\prime }(x)=\frac{3}{3x}=\frac{1}{x},G^{\prime }(x)=\frac{1}{x}.$$ Les deux fonctions ont donc bien $f$ pour dérivée : ce sont deux primitives de $f$ sur $\left]0,+\infty \right[$.

Aucune contradiction. Une fonction admet une infinité de primitives sur un intervalle, qui diffèrent toutes d'une constante. Ici la constante se lit directement : $$F(x)-G(x)=\ln (3x)-\ln x=\ln \left(\frac{3x}{x}\right)=\ln 3,$$ constante indépendante de $x$, conformément au théorème.

Les deux différences. $F(2)-F(1)=\ln 6-\ln 3=\ln 2$. $G(2)-G(1)=\ln 2-\ln 1=\ln 2$. Elles sont égales.

Pourquoi elles devaient l'être. La constante disparaît dans la soustraction : si $F=G+c$, alors $F(b)-F(a)=(G(b)+c)-(G(a)+c)=G(b)-G(a)$. C'est exactement ce qui rend la définition de l'intégrale légitime : le nombre $${\int }_1^2\frac{1}{t}\mathrm{d}t=\ln 2\approx 0,693$$ ne dépend pas de la primitive choisie pour le calculer.

Ce qu'il faut retenir. On peut donc prendre n'importe quelle primitive, et notamment la plus simple : ici $\ln x$ plutôt que $\ln (3x)$.