Du coût marginal au coût total

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 12 — Intégration sur un segment · Applications économiques et probabilistes

Énoncé

Le coût marginal de production d'une entreprise, exprimé en euros par unité, est $C_{m} (q) = 0, 6 q + 4$ pour $q$ entre $0$ et $50$ unités. Le coût de production des unités allant de $q_{1}$ à $q_{2}$ est $\int_{q_{1}}^{q_{2}} C_{m} (q) d q$ . Calculer le coût de production des unités $20$ à $40$ , puis le coût moyen par unité sur cette tranche.

Corrigé

Le coût de la tranche. Une primitive de $C_{m}$ est $C (q) = 0, 3 q^{2} + 4 q$ , donc

$\int_{20}^{40} (0, 6 q + 4) d q = [0, 3 q^{2} + 4 q]_{20}^{40} = (480 + 160) - (120 + 80) = 640 - 200 = 440.$

La tranche coûte $440$ euros.

Le coût moyen. Vingt unités sont produites, donc $440/20 = 22$ euros par unité.

Contrôle. $C_{m}$ est croissante, de $C_{m} (20) = 16$ à $C_{m} (40) = 28$ : le coût moyen doit tomber entre ces deux valeurs, et $22$ est bien leur milieu — ce qui est normal pour un coût marginal affine.

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