Du coût marginal au coût total

Ce que dit le modèle. Le coût marginal $C_m(q)=7$ est un coût par unité ; le coût des unités allant de $q_1$ à $q_2$ est son accumulation, c'est-à-dire ${\int }_{q_1}^{q_2}{C}_m(q)\mathrm{d}q$.

Le coût des unités $20$ à $50$. Une primitive de la constante $7$ est $7q$, donc $${\int }_{20}^{50}7\mathrm{d}q=[7q{]}_{20}^{50}=350-140=210\text{euros}.$$

Le coût des $50$ premières unités. $${\int }_0^{50}7\mathrm{d}q=[7q{]}_0^{50}=350\text{euros}.$$

Contrôle par Chasles. Le coût des $20$ premières unités vaut $7\times 20=140$ euros, et $140+210=350$ : le découpage $[0;20]\cup [20;50]$ redonne bien le total.

Une remarque. Le coût marginal étant ici constant, l'intégrale se réduit à une multiplication, et l'aire sous la courbe est celle d'un rectangle. C'est le cas le plus simple : dès que le coût marginal varie avec la quantité — ce qui est la règle en pratique — la multiplication ne suffit plus, et l'intégrale devient indispensable.