Encadrer sans calculer

Pourquoi encadrer. On ne connaît aucune primitive de $x\mapsto {\mathrm{e}}^{x^2}$ qui s'écrive avec les fonctions usuelles : le calcul exact est hors d'atteinte. On encadre donc la fonction, puis on intègre l'encadrement.

Premier encadrement. Pour $x\in [0,1]$, on a $0\le x^2\le 1$. La fonction exponentielle étant croissante,

$${\mathrm{e}}^0\le {\mathrm{e}}^{x^2}\le {\mathrm{e}}^1,\text{c’est-aˋ-dire}1\le {\mathrm{e}}^{x^2}\le \mathrm{e}.$$

Les bornes $0$ et $1$ sont dans l'ordre croissant : on peut intégrer l'inégalité, par croissance de l'intégrale.

$${\int }_0^{1}1\mathrm{d}x\le I\le {\int }_0^1\mathrm{e}\mathrm{d}x,\text{soit}1\le I\le \mathrm{e}\approx 2,718.$$

L'affinage. Pour $x\in [0,1]$, $x^2-x=x(x-1)\le 0$, donc $x^2\le x$. L'exponentielle étant croissante, ${\mathrm{e}}^{x^2}\le {\mathrm{e}}^x$ sur $[0,1]$. En intégrant :

$$I\le {\int }_0^1{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x=[{\mathrm{e}}^x{]}_0^1=\mathrm{e}-1\approx 1,718.$$

Le nouvel encadrement est donc $1\le I\le \mathrm{e}-1$, nettement plus serré. (La valeur vaut en réalité environ $1,463$.)

Le point à retenir. Une intégrale qu'on ne sait pas calculer s'encadre en encadrant la fonction, et la qualité du résultat ne dépend que de la finesse de la comparaison. Une précaution est obligatoire : vérifier que les bornes sont dans l'ordre croissant avant d'intégrer une inégalité, faute de quoi le sens s'inverse.