Encadrer un logarithme par des rectangles

Intégration sur un segment · La méthode des rectangles · niveau 3 (difficile)

Énoncé

On veut encadrer $\int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x$ par la méthode des rectangles avec $n = 4$ .

Calculer $S_{g}$ et $S_{d}$ , puis encadrer l'intégrale.
Quelle est la valeur exacte ? Vérifier que l'encadrement la contient.
Combien vaut $S_{g} - S_{d}$ ? Le retrouver par une formule.

Corrigé

1. Les deux sommes. Ici $h = 0, 25$ et les valeurs de $1/ x$ aux cinq bornes sont $1$ ; $0, 8$ ; $\frac{2}{3}$ ; $\frac{4}{7}$ ; $0, 5$ . Donc

$S_{g} = 0, 25 (1 + 0, 8 + \frac{2}{3} + \frac{4}{7}) \approx 0, 7595, S_{d} = 0, 25 (0, 8 + \frac{2}{3} + \frac{4}{7} + 0, 5) \approx 0, 6345.$

La fonction $1/ x$ étant décroissante, $S_{d} \leq \int_{1}^{2} \frac{d x}{x} \leq S_{g}$ .

2. La valeur exacte. $\int_{1}^{2} \frac{d x}{x} = [ln x]_{1}^{2} = ln 2 \approx 0, 6931$ , qui est bien entre $0, 6345$ et $0, 7595$ .

3. L'écart. $S_{g} - S_{d} = 0, 7595 - 0, 6345 = 0, 125$ . On le retrouve directement : toutes les valeurs intermédiaires se simplifient et il reste

$S_{g} - S_{d} = h (f (1) - f (2)) = 0, 25 \times (1 - 0, 5) = 0, 125.$

Ce que cela dit. Doubler $n$ divise l'écart par deux. Pour encadrer $ln 2$ à $1 0^{- 3}$ près, il faudrait $h \leq 0, 002$ , soit $n = 500$ : la méthode converge, mais lentement.

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