Encadrer une intégrale qu'on ne sait pas calculer

Pourquoi encadrer. Aucune ligne du tableau ne donne de primitive de $\frac{1}{1+x^2}$ : on ne peut pas calculer $I$. En revanche, la croissance de l'intégrale permet de l'encadrer : si $u\le v$ sur $[a;b]$ avec $a\le b$, alors ${\int }_a^{b}u\le {\int }_a^{b}v$.

Le premier encadrement. Pour $1\le x\le 2$, on a $1\le x^2\le 4$, donc $2\le 1+x^2\le 5$, et en passant aux inverses — ce qui renverse les inégalités entre nombres positifs : $$\frac{1}{5}\le \frac{1}{1+x^2}\le \frac{1}{2}.$$ En intégrant ces constantes sur un intervalle de longueur $1$ : $$\frac{1}{5}\le I\le \frac{1}{2}.$$

L'affinement. Pour $x\ge 1$, on a $1\le x^2$, donc $1+x^2\le 2x^2$, et en passant aux inverses : $$\frac{1}{1+x^2}\ge \frac{1}{2x^2}.$$ Or cette minorante-là a une primitive connue : $${\int }_1^2\frac{1}{2x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\left[-\frac{1}{x}\right]}_1^2=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}+1\right)=\frac{1}{4}.$$

Le nouvel encadrement. $\frac{1}{4}\le I\le \frac{1}{2}$, soit $0,25\le I\le 0,5$ : la borne inférieure a gagné $0,05$.

Contrôle numérique. Une valeur approchée de $I$ est $0,3218$ : elle appartient bien aux deux encadrements, et le second est effectivement plus serré.