L'aire entre deux courbes

Les intersections. Elles vérifient $f(x)=g(x)$ :

$$6x-x^2=x⟺5x-x^2=0⟺x(5-x)=0,$$

donc $x=0$ ou $x=5$. Les deux courbes se coupent en ces deux abscisses, et nulle part ailleurs.

Qui est au-dessus ? Sur $[0,5]$, la différence vaut $f(x)-g(x)=x(5-x)$ : le facteur $x$ est positif et le facteur $5-x$ aussi, donc la différence est positive. La parabole est au-dessus de la droite sur tout $[0,5]$.

L'aire. Elle vaut l'intégrale de la différence :

$$\mathcal{A}={\int }_0^5(5x-x^2)\mathrm{d}x.$$

Une primitive de $5x-x^2$ est $\frac{5x^2}{2}-\frac{x^3}{3}$, donc

$$\mathcal{A}={\left[\frac{5x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]}_0^5=\frac{125}{2}-\frac{125}{3}=\frac{375-250}{6}=\frac{125}{6}\approx 20,83$$

unités d'aire.

Contrôle d'ordre de grandeur. La différence $5x-x^2$ atteint son maximum en $x=2,5$, où elle vaut $12,5-6,25=6,25$. Le domaine est donc contenu dans un rectangle de base $5$ et de hauteur $6,25$, d'aire $31,25$ ; et $20,83$ en occupe exactement les deux tiers — la proportion attendue pour une portion de parabole.

Le point à retenir. L'aire entre deux courbes est l'intégrale de leur différence, à condition de savoir laquelle est au-dessus. Ce signe se lit sur la différence factorisée, pas sur un dessin : c'est le calcul qui tranche, et il donne du même coup les bornes.