L'aire entre une courbe et sa tangente

La tangente. $f^{\prime }(x)=2x$, donc $f^{\prime }(1)=2$ et $f(1)=1$. L'équation de la tangente en $1$ est $$y=f(1)+f^{\prime }(1)(x-1)=1+2(x-1)=2x-1.$$

La position relative. On étudie la différence : $$f(x)-(2x-1)=x^2-2x+1=(x-1{)}^2\ge 0,$$ et ce carré ne s'annule qu'en $x=1$. La courbe est donc au-dessus de sa tangente sur $\mathbb{R}$ tout entier, ce qui traduit la convexité de $f$.

L'aire. Comme la différence est positive, l'aire cherchée est l'intégrale de cette différence : $$\mathcal{A}={\int }_0^2(x^2-2x+1)\mathrm{d}x.$$

Le calcul. Une primitive est $F(x)=\frac{x^3}{3}-x^2+x$, qu'on contrôle en dérivant : $F^{\prime }(x)=x^2-2x+1$. Donc $$\mathcal{A}=F(2)-F(0)=\left(\frac{8}{3}-4+2\right)-0=\frac{8}{3}-2=\frac{2}{3}\approx 0,667.$$

Contrôle de plausibilité. Le domaine est compris entre les deux courbes, sur une largeur $2$, avec un écart maximal $(x-1{)}^2\le 1$ atteint aux bornes. Son aire est donc au plus $2\times 1=2$, et bien davantage que zéro puisque l'écart n'est nul qu'en un point : $\frac{2}{3}$ est plausible.

Le point délicat. On n'intègre pas $f$ puis la tangente séparément pour soustraire les résultats — on peut le faire, mais c'est deux fois plus long. La linéarité de l'intégrale permet d'intégrer directement la différence.