La primitive qui passe par un point donné

Les primitives, terme à terme. On lit le tableau à l'envers, en utilisant la linéarité. Une primitive de $2x$ est $x^2$ ; une primitive de $\frac{1}{x^2}$ sur $\left]0,+\infty \right[$ est $-\frac{1}{x}$. Donc une primitive de $f$ est $$x^2-3\times \left(-\frac{1}{x}\right)=x^2+\frac{3}{x}.$$

Toutes les primitives. Sur l'intervalle $\left]0,+\infty \right[$, elles s'écrivent $$F(x)=x^2+\frac{3}{x}+c,c\in \mathbb{R},$$ car deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante.

La condition. $F(1)=1+3+c=4+c$. L'égalité $F(1)=5$ donne $c=1$, d'où $$F(x)=x^2+\frac{3}{x}+1.$$

Contrôle en dérivant — le seul contrôle qui ne peut pas se tromper : $$F^{\prime }(x)=2x-\frac{3}{x^2}=f(x),$$ et $F(1)=1+3+1=5$. Les deux exigences sont satisfaites.

Le point délicat. La condition $F(1)=5$ ne sélectionne qu'une primitive parmi une infinité, et il n'y en a qu'une : c'est parce qu'on travaille sur un intervalle. Sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$, réunion de deux intervalles, la constante pourrait différer de part et d'autre de $0$, et la primitive ne serait plus unique.