La valeur moyenne d'une décroissance

La définition. La valeur moyenne de $p$ sur $[0;10]$ est $$m=\frac{1}{10-0}{\int }_0^{10}100{\mathrm{e}}^{-0,1t}\mathrm{d}t.$$

Une primitive. Une primitive de ${\mathrm{e}}^{at}$ est $\frac{1}{a}{\mathrm{e}}^{at}$ ; avec $a=-0,1$, une primitive de $100{\mathrm{e}}^{-0,1t}$ est $$P(t)=\frac{100}{-0,1}{\mathrm{e}}^{-0,1t}=-1000{\mathrm{e}}^{-0,1t},$$ qu'on contrôle en dérivant : $P^{\prime }(t)=-1000\times (-0,1){\mathrm{e}}^{-0,1t}=100{\mathrm{e}}^{-0,1t}$.

L'intégrale. $${\int }_0^{10}p(t)\mathrm{d}t=P(10)-P(0)=-1000{\mathrm{e}}^{-1}+1000=1000\left(1-{\mathrm{e}}^{-1}\right)\approx 632,12.$$ Ce nombre est l'énergie consommée, en kilowattheures.

La valeur moyenne. $m=\frac{632,12}{10}\approx 63,21$ kilowatts.

Les comparaisons. $p(0)=100$ et $p(10)=100{\mathrm{e}}^{-1}\approx 36,79$. La valeur moyenne $63,21$ est bien comprise entre les deux, comme il se doit pour une fonction continue. En revanche, la moyenne des deux extrémités vaut $$\frac{100+36,79}{2}=68,40\ne 63,21.$$

Le point délicat. La valeur moyenne d'une fonction n'est pas la moyenne de ses valeurs aux bornes — cela ne serait vrai que pour une fonction affine. Ici la décroissance est rapide au début, ce qui tire la moyenne vers le bas.