La valeur moyenne d'une série de ventes

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 12 — Intégration sur un segment · Propriétés de l'intégrale

Énoncé

Les ventes mensuelles d'un produit, en milliers d'unités, sont modélisées par $v (t) = 40 + 12 t - t^{2}$ pour $t$ entre $0$ et $10$ mois. Calculer la valeur moyenne de $v$ sur $[0, 10]$ et la comparer à $v (0)$ et $v (10)$ .

Corrigé

L'intégrale. Une primitive est $V (t) = 40 t + 6 t^{2} - \frac{t ^{3}}{3}$ , donc

$\int_{0}^{10} v (t) d t = 400 + 600 - \frac{1000}{3} = 1000 - \frac{1000}{3} = \frac{2000}{3} \approx 666, 67.$

La valeur moyenne. $m = \frac{1}{10} \times \frac{2000}{3} = \frac{200}{3} \approx 66, 67$ milliers d'unités par mois.

Comparaison. $v (0) = 40$ et $v (10) = 60$ : la moyenne $66, 67$ dépasse les deux ! Rien d'absurde là-dedans : $v$ passe par un maximum de $76$ en $t = 6$ , et c'est ce ventre central qui tire la moyenne vers le haut. Une moyenne n'est pas la demi-somme des extrémités, sauf pour une fonction affine.

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