Primitives usuelles

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 12 — Intégration sur un segment · Primitives

Énoncé

Donner une primitive de chacune des fonctions suivantes, en précisant l'intervalle : $f (x) = 3 x^{2} - 4 x + 5$ ; $g (x) = \frac{1}{x}$ ; $h (x) = e^{2 x}$ ; $k (x) = \frac{1}{x ^{2}}$ .

Corrigé

$F (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 5 x$ sur $R$ ; $G (x) = ln x$ sur $] 0, + \infty [$ ; $H (x) = \frac{1}{2} e^{2 x}$ sur $R$ ; $K (x) = - \frac{1}{x}$ sur $] 0, + \infty [$ .

Contrôle par dérivation. $F^{'} = 3 x^{2} - 4 x + 5$ ; $G^{'} = 1/ x$ ; $H^{'} = \frac{1}{2} \times 2 e^{2 x} = e^{2 x}$ ; $K^{'} = 1/ x^{2}$ . Les quatre sont justes.

Deux pièges. Le facteur $\frac{1}{2}$ de $H$ s'oublie une fois sur deux : il compense le $2$ que la dérivation fait sortir. Et $K$ porte un signe moins, alors que $k$ est positive — cela n'a rien de contradictoire, une primitive n'a aucune raison d'avoir le signe de la fonction.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.