Quatre primitives à lire dans le tableau

La méthode. Chaque ligne du tableau des primitives se lit à l'envers d'un tableau de dérivées, et l'on contrôle systématiquement en dérivant.

La constante. Une primitive de $f(x)=5$ est $F(x)=5x$, puisque $F^{\prime }(x)=5$.

La puissance. Une primitive de $x^n$ est $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ ; avec $n=4$ : $$G(x)=\frac{x^5}{5},\text{et }{G}^{\prime }(x)=\frac{5x^4}{5}=x^4.$$

L'exponentielle composée. Une primitive de ${\mathrm{e}}^{ax}$ est $\frac{1}{a}{\mathrm{e}}^{ax}$ ; avec $a=3$ : $$H(x)=\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^{3x},\text{et }{H}^{\prime }(x)=\frac{3}{3}{\mathrm{e}}^{3x}={\mathrm{e}}^{3x}.$$

L'inverse. Une primitive de $\frac{1}{x}$ sur $\left]0,+\infty \right[$ est $\ln x$, donc par linéarité $$K(x)=2\ln x,\text{et }{K}^{\prime }(x)=\frac{2}{x}.$$

Ce qu'il faut retenir. Chacune de ces quatre réponses est définie « à une constante près » : $5x+7$ convient aussi bien que $5x$. Et le contrôle par dérivation, écrit ici à chaque ligne, coûte cinq secondes pour une certitude complète.