Relation de Chasles

1. Chasles donne ${\int }_0^{7}f={\int }_0^{2}f+{\int }_2^{7}f$, donc ${\int }_2^{7}f=12-5=7$. En échangeant les bornes, ${\int }_7^{2}f=-7$.

2. Une primitive de $x^2$ est $x^3/3$. Alors

$${\int }_0^3{x}^2\mathrm{d}x=9,{\int }_3^5{x}^2\mathrm{d}x=\frac{125-27}{3}=\frac{98}{3},{\int }_0^5{x}^2\mathrm{d}x=\frac{125}{3}.$$

Et $9+\frac{98}{3}=\frac{27+98}{3}=\frac{125}{3}$ : Chasles est vérifiée.

Remarque. Au point 1, on ne sait rien de $f$ — ni sa formule, ni son signe. Chasles suffit : c'est une relation entre nombres, pas entre courbes.