Relation de Chasles

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 12 — Intégration sur un segment · Propriétés de l'intégrale

Énoncé

Soit $f$ continue sur $R$ telle que $\int_{0}^{2} f = 5$ et $\int_{0}^{7} f = 12$ .

Calculer $\int_{2}^{7} f$ et $\int_{7}^{2} f$ .
Vérifier Chasles sur $f (x) = x^{2}$ avec $a = 0$ , $b = 3$ , $c = 5$ .

Corrigé

1. Chasles donne $\int_{0}^{7} f = \int_{0}^{2} f + \int_{2}^{7} f$ , donc $\int_{2}^{7} f = 12 - 5 = 7$ . En échangeant les bornes, $\int_{7}^{2} f = - 7$ .

2. Une primitive de $x^{2}$ est $x^{3} /3$ . Alors

$\int_{0}^{3} x^{2} d x = 9, \int_{3}^{5} x^{2} d x = \frac{125 - 27}{3} = \frac{98}{3}, \int_{0}^{5} x^{2} d x = \frac{125}{3} .$

Et $9 + \frac{98}{3} = \frac{27 + 98}{3} = \frac{125}{3}$ : Chasles est vérifiée.

Remarque. Au point 1, on ne sait rien de $f$ — ni sa formule, ni son signe. Chasles suffit : c'est une relation entre nombres, pas entre courbes.

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