Surplus sur un marché

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 12 — Intégration sur un segment · Applications économiques et probabilistes

Énoncé

Sur un marché, la demande est $p_{D} (q) = 20 - 0, 5 q$ et l'offre $p_{O} (q) = 5 + 0, 25 q$ , où $q$ est la quantité et $p$ le prix.

Déterminer la quantité $q^{*}$ et le prix $p^{*}$ d'équilibre.
Le surplus des consommateurs est $\int_{0}^{q^{*}} p_{D} (q) d q - p^{*} q^{*}$ , celui des producteurs $p^{*} q^{*} - \int_{0}^{q^{*}} p_{O} (q) d q$ . Les calculer.
Vérifier que leur somme est l'aire comprise entre les deux courbes sur $[0, q^{*}]$ .

Corrigé

1. L'équilibre. On résout $20 - 0, 5 q = 5 + 0, 25 q$ , soit $15 = 0, 75 q$ et $q^{*} = 20$ . Alors $p^{*} = 20 - 0, 5 \times 20 = 10$ , et l'on vérifie $5 + 0, 25 \times 20 = 10$ : les deux formules concordent.

2. Les deux surplus.

$\int_{0}^{20} (20 - 0, 5 q) d q = [20 q - 0, 25 q^{2}]_{0}^{20} = 400 - 100 = 300,$

donc le surplus des consommateurs vaut $300 - 10 \times 20 = 100$ . De même

$\int_{0}^{20} (5 + 0, 25 q) d q = [5 q + 0, 125 q^{2}]_{0}^{20} = 100 + 50 = 150,$

donc le surplus des producteurs vaut $200 - 150 = 50$ .

3. L'aire entre les courbes. Par linéarité,

$\int_{0}^{20} (p_{D} (q) - p_{O} (q)) d q = \int_{0}^{20} (15 - 0, 75 q) d q = [15 q - 0, 375 q^{2}]_{0}^{20} = 300 - 150 = 150,$

et $100 + 50 = 150$ : la somme des deux surplus est bien cette aire.

Pourquoi c'est automatique. Le terme $p^{*} q^{*}$ est ajouté d'un côté et retranché de l'autre ; il disparaît de la somme, qui ne garde que la différence des deux intégrales. C'est de la linéarité, pas de l'économie.

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